Ноль прекрасен: математика как искусство

Можете ли вы представить времена, когда не существовало понятия ноль? Мы с мужем заглянули в историю открытия ноля, но не через историю математики, а при помощи нашей двухлетней  дочери.

Счёт «пришёл» сам по себе, и в какой-то момент дочь поняла, что цифры имеют своё обозначение на письме. Когда же цифра 10 была обозначена как комбинация 1 и 0, а не отдельным знаком, всё изменилось. До этого времени в мире дочки была возможна нумерация с уникальным знаком для каждого числа. Когда же дочь увидела, что 10 пишется, как 1 и 0, она откинулась на стуле и заплакала. Мы были поражены и не готовы столкнуться с такой реакцией на понимание чисел.

Это было переживание художника, мир которого изменился коренным образом, что-то было утрачено навеки. Почему в числе 10 должен быть ноль?! До этого числовое выражение совпадало с понятием самого числа, количества, а теперь резко, без предупреждения мы возвращаемся к нулю.

Какое-то время спустя дочь придумала, как утешиться. Однажды она прибежала в слезах, сжимая в руке белый восковой карандаш. Его не видно на бумаге, кричала она, значит, его надо выбросить! Тогда я нарисовала рисунок белым карандашом, а сверху добавила цветной акварели. Белая восковая линия проступила из-под краски. Карандаш спасён и он же послужил своего рода опорой для мира дочери.

Через несколько дней ребёнок объяснил нам: «В числе 10 ноль обозначает 9 предыдущих чисел. В числе 100 ноль – это 99 предыдущих чисел». Так, если нам надо вычесть 6 из 10, то мы вычитаем из 9 (а не из нуля), а потом добавляем единицу, стоящую впереди. Конечно, никто не будет так считать в первом десятке, но вполне можно использовать этот подход для двузначных чисел. Например, чтобы вычесть 42 из 100 можно вычесть 42 из 99 (а не из двух нулей), а затем добавить 1. Мы не применяли и этот способ на практике, потому что к моменту, когда дочь перешла к письменному вычитанию, её неприятие нуля закончилось, и она научилась «занимать» недостающий десяток. Смешное слово «занимать», арифметика бывает смешной. Но важен метод для вычитания. Важно, что дочь задумалась об этом и смогла объяснить свой способ решения.

Часто люди видят в математике только механический процесс. И если они даже верят в её красоту и увлекательность, то, скорее всего, считают, что видеть это могут только те, кто отточил механические навыки до продвинутого уровня. Пол Локхарт преподаёт математику в школе Святой Анны в Нью-Йорке. Он написал эссе «Плач математика» и настаивает на том, что математика – это искусство:

«Если бы мир надо было разделить на «поэтических мечтателей» и «рациональных мыслителей», большая часть людей уверенно поместила бы математику в компетенции второй категории. Однако, нет ничего более поэтичного и противоречивого, более психоделического, чем математика. Она такая же увлекательная, как космонавтика или физика – математики открыли чёрные дыры задолго до того, как их нашли астрономы, она даёт нам свободу для выражения больше, чем поэзия, искусство или музыка, которые во многом зависят от свойств материальной вселенной. Математика – это самое чистое искусство, хотя и самое неверно понятое».

Хорошо бы детям иметь возможность наблюдать за математиками во время работы, так же как они видят музыкантов или художников на улице, в мастерских, на концертах. Если математику изучать в социальном и историческом контексте, можно будет понять, почему конкретный математик сделал свои открытия в то время в таком месте. Не только формулы имеют значение, но и люди, их открывшие. Локхарт умоляет учителей играть в шахматы, го, решать ребусы и головоломки, брать в руки пластилин и краску для выражения идей через математику.

Математика – это искусство, а искусство должно преподаваться настоящими художниками, или хотя бы ценителями искусства, которые смогут отличить его на вид

Наблюдение за обучением детей даёт нам второй шанс оценить математику как вид искусства. Даже пример того, как моя дочь справлялась с пониманием значения ноля, вдохновляет на исследование глубины других математических идей.

Так же как настоящие художники просят не подсказывать детям, каким цветом и способом рисовать, математики должны давать больше творчества и самостоятельности в открытиях, связанных с числами. Каждый ребёнок может пробовать самостоятельно дойти до понятия числа, сложения, разрядов и прочего – так, как будто в мире ещё не существует понятия числа. Хотели бы мы, чтобы дети проскочили этап первичной речи, когда они придумывают собственные варианты слов, произносят их части, и сразу перешли ко «взрослому» языку? Нам нравятся милые детские словечки. Мы настолько уверены в родном языке, что позволяем детям придумывать собственные слова, не переживая за «взрослый» язык.

Не всегда понятно, что хочет сказать ребёнок, но если верить в его собственный мыслительный процесс и способность самим доходить до сути вещей, лучше не спешить поправлять и не давать готовые ответы.

Недавно наша дочь услышала песенку Куки Монстра (героя сериала «Улицы Сезам») и стала повторять её: «Одно и одно печенье будет два…», так до 256, умножая каждый раз на два. Затем: «Одно печенье разделить на два человека будет полтора». Думаю, у каждого родителя найдётся такая история. Математика повсюду, она окружает нас.

Формы, последовательности в природе, идеи в нашей голове, игры, наброски рисунков, рифмы и ритмы, которые мы отстукиваем по столу – всё это приводит нас к математическим открытиям. Локхарт пишет: «Если бы все обратились к математике в её природном понимании, со всеми её сюрпризами и развлечениями, мы бы увидели коренную перемену в отношении к этой науке и в нашей трактовке того, что значит «быть успешным в математике».

Применять математику как искусство – увлекательное занятие. Ви Харт (Vi Hart) называет себя матемузыкантом, образцы её работ можно найти на сайте Академии Хана и на каналах youtube. Кьяртан Поскитт, автор «Убийственной математики» — историй с вымышленными и реальными героями, попадающими в разные приключения с математическими понятиями, которые автор разбирает по ходу повествования. Что объединяет этих людей – после знакомства с их работами непременно хочется заняться математикой самому.

Текст: П. Арвинда
Перевод: Юлия Бахтина
Источник:  Ассоциация хоумскулеров Индии